高斯曲率？
数学网：什么是高斯曲率？
高斯曲率 曲面论中最重要的内蕴几何量。设曲 面在P点处 的两个主曲率为k1，k2，它们的乘积k=k1·k2称为曲面 于该点的总曲率或高斯曲率。它反映了曲面的一般弯曲程度。高斯曲率k的绝对值有明显的几何意义。设Δб是曲面上包含P点的一小片曲面（其面积仍用Δб表示），把Δб上的每点的单位法向量n平移到E3的原点O处，那么n的终点 的轨迹是 以O为中心的单位球面S2上的一块区域 Δб* 。这个对应称为高斯映射。曲面在P点邻近弯曲程度可用Δб*( 其面积仍用Δб*表示）与Δб的面积比刻画。
什么是高斯曲率
曲面论中最重要的内蕴几何量。设曲 面在P点处 的两个主曲率为k1，k2，它们的乘积k＝k1·k2称为曲面 于该点的总曲率或高斯曲率。 曲面在P点的 高斯曲率的 绝对值正是这个比值当Δб收缩成P点时的极限。一阶导数。 http://baike.baidu.com/view/70527.html?wtp=tt
如何图示理解高斯曲率？
定义高斯映射，将曲面的单位法向量映到单位球面上。这个映射的雅各比行列式就是高斯曲率。
关于曲面的问题
从球面表示的角度来看，高斯曲率是曲面在球面上对应区域的面积比上原来区域的面积。这样平面的球面表示当然只能是一个点。我们如果把平面卷曲成圆柱面，那么这是圆柱面的球面表示就会是一条线。从而两种情况下的高斯曲率都是零。这样高斯曲率分辨不出来弯曲的圆柱面与平直的平面。原因就是高斯曲率事实上只同度量有关，而与曲面如何嵌入到空间没有关系。
