金融风险管理：风险价值VaR和局部均值ES的度量
风险是与收益相对应的概念，正是因为市场具有波动性，既有获得收益的可能，也有可能造成损失的可能，造成损失的可能就是风险。在风险管理当中我们看重的是风险，而风险的来源是 不确定性 ，也即是 波动 。虽然是不确定性，但是假如我们给定一定的假设，建立一套模型，可以在某种程度上理解风险出现的可能性以及对我们造成的影响，不一定能避免风险，但是能够增加对它的理性认识。有三个问题是我们要思考的：关于第一个问题在上小节已经说过，那么说一下如何测度风险。风险度量工具常用有：
VaR指的是在一定置信区间内和一定时间内的 最大损失金额 。
举个例子。某个银行发行某一种基金或者资产组合，它在1天期限内的99%的风险度量VaR为6000万元。
关于这点可以有以下三种理解：
绘制概率密度图
上图画的是一个标准正态分布分布，从-3到3.
其中95%的置信区间对应的分位点即是VaR值，所以VaR值是相对于没有损失风险的一个分位数。
绘制累积分布函数
VaR有自身的缺点，不满足次可加性原则（关于次可加性我还是不是很理解），所以没有办法计算资产组合的VaR值。同时对于尾部的刻画，我们一无所知，也就是我们关心的是置信区间里面的事，但是对于万一我们确实损失值出现在了置信区间以外的话，这个损失的尾部分布是如何的呢？期望又是如何？这点VaR没有办法告诉我们，但是ES可以弥补以上两个缺点。
ES是指损失超过了VaR以后，尾部损失的一个 期望值 。计算公式如下：
照理来说，给定一定的置信区间和时间T，对照着正态分布的表格应该可以查找出对应的VaR值。但实际上收益率的分布并不满足正态分布，但是模型的作用并不是反映出细枝末节，而是给定一定的前提假设，这个模型能够有多大程度能够接近现实？
对于一个投资组合，Delta-normal方法的前提假设有两个：
从以上这个假设我们知道了 资产的收益率组合是满足正态分布的 ，而我们要求VaR，根据概念就是把这个 正态分布的分位数 找出来。我们知道，正态分布最重要的两个参数是均值还有标准差（或者方差），分别决定了分布的平移和拉伸压缩。在这里我们用标准差，不用方差，原因是标准差与均值具有相同的单位。在经济学或者风险管理当中，统计学当中的sigma通常叫做 波动率 ，实际上是一个意思。
假设我们有价值为1的资产组合，给定置信区间为c，收益率的均值为0（标准正态分布的收益率为0）那么计算未来一天的
在这里alpha是可以通过置信水平找出来的，关键在于波动率sigma怎么求？所以接下来的重点在如何通过历史估算投资资产收益率的波动率。
建模之前，我们需要了解的是，我们是根据历史来建模的，也就是认为过去历史是包含着一定的趋势的，并且这个趋势是会延续下去的（但我们知道随时可能会有新的冲击），并且我们要理解模型是为了刻画出数据的趋势的，真实数据与预测值之间会有残差，但真实数据扣除掉预测值之后留下的残差应该是随机波动的，也就是它们不会有相关性，这样才能说我们这个模型把数据的趋势挖掘得够彻底了。
假如收益率序列为rt，rt是由两部分组成的：本身的均值ut以及随机扰动项at。表示如下：
，其中ut是满足ARMA(p, q)模型的，也就是前面一项是p个滞后项的历史收益率的自回归项，后面一项是q个滞后项的移动平均项。如下表示：
ARCH(p)模型假设：
t时刻的扰动项
与ARCH模型不同的是，除了有扰动项的线性组合外，还有q项历史滞后项sigma的移动平均项。
GARCH(p, q)模型假设：
其中扰动项的因子varepsilon t范围是(0, 1)，
RiskMetrics是JP Morgan提出的风险度量技术，这里只涉及简单形式。这个方法认为的是，对于t时刻的扰动项 ，给定t-1时刻的信息，那么 是满足正态分布的。其中，sigma的表示方法如下：
接下来我们要通过谷歌五年的历史数据预测未来一周内可能遭受的最大损失和损失的平均值。
首先获取数据：
然后我们接下来要用到rugarch这个工具包，可以通过install.packages()这个方法来安装。
接下来我们将损失变量求出来，把负对数收益率百分比化后作为损失变量
建模包括两部分：均值方程和波动方程。均值方程是满足ARMA(p, q)模型，因此要进行建立ARMA(p, q)模型一般的步骤：
对于波动方程则首先要检验ARCH效应，也即是检验残差项是否二次相关。
在这里说明一下，其实我们做了这么多，都是在提纯 相关性 ，ARMA刻画的是线性相关，而GARCH刻画的是非线性相关性。我们在 不断地剔除掉相关性 ，这样当相关性被完全剔除掉之后，剩下的就是随机波动的白噪声，比如在这里最后的ARCH模型建立完之后最后一个要做的就是扣除掉残差的残差后，是否剩下来的白噪声是满足一定的分布（比如GARCH就要求满足正态分布，只有这样，我们才能相信这样的白噪声是天然就存在的噪音，没有包含主要信息）。我们在前面建立了ARMA模型之后，剔除的是线性相关性，但是剩下来跟均值的差（也就是差异）是一个波动，根据我们上面提到的GARCH模型，它是可能存在着二次序列相关的，所以我们在GARCH模型建模的时候，相当于对这部分波动进行二次相关性的拟合（跟ARMA建模是一样的操作），然后再检验上一步ARMA的'残差'的残差是否还具有相关性，如果没有了，就说明相关性刻画完全了，否则还得重新选择参数，建立更好的GARCH模型去拟合这部分残差。然后最后扣除所有相关性到最后，就是白噪声了，要看这个白噪声是否真的那么无辜，所以就看它是否满足正态分布。
在这里的话，其实收益率的自相关性是十分微弱的（否则人人都可以轻松预测套利），所以就不必建立ARMA模型，直接以算术平均值来代替均值方程，接下来会重点建立GARCH模型。
我们直接运用GARCH(1, 1)模型，关于模型的选择一般p，q不超过2，关于模型选择和检验这里不做探讨。
我们可以看到我们的ugarch模型当中的均值方程的参数mean.model设置的阶次p,q为(0, 0)，并且包含了均值项，说明我们这里以简单的算术平均值作为均值方程。variance.model的波动方程的阶次p, q设为(1, 1)，然后根据历史损失率来建模，向前5步预测一周的情况，设置n.ahead=5。
输出结果
，然后我们就可以计算VaR还有ES。
输出结果
这就说明在95%的置信水平下，5天里面最大可能损失不超过¥1000000 x 4.755209% =¥4755209，发生损失的均值为¥1000000 x 5.963223% =¥5963223
在这里我多补充一下，原本有点不太理解ES的计算，我们在这里仔细看一下其实qnorm(0.95)就是返回95%置信水平下的分位数，dnorm函数则是返回这个分位数下的密度概率，0.05则是尾部的累积概率（可以理解为95%置信水平之后所有可能发生的损失值，也就是左边的那块面积），所以人如其名，尾部均值就是求在0.95对应的分位点下的概率与对应的损失大小占总的左边的那块面积的大小（可以理解为最终发生的损失既跟发生的概率有关也跟该概率下发生损失的大小有关）。
作为一个整体，其实我们也可以先预测1天的sigma，然后乘以sqrt(5)，结果稍微有些不同。
在这里RiskMetrics的建模方式和GARCH的建模方式是相同的，不同的在于要选择参数(p, q)为(1, 1)，并且没有漂移项alpha0，在模型的参数model选择'igarch'即可。
输出结果
这就说明在95%的置信水平下，5天里面最大可能损失不超过¥1000000 x 3.828855% =¥ 3828855，发生损失的均值为¥1000000 x 4.801539% =¥4801539
在这里的计算结果与GARCH模型预测的结果是有差异的，说明模型和参数(p, q)的选择对计算结果是有影响的。
在这篇文章当中，我们介绍了VaR和ES的概念，GARCH模型，ARCH模型以及RiskMetrics方法计算VaR和ES的方法和流程，关键点在于对波动率的拟合，除了要知道怎么计算，还要知道什么时候能用这个模型。
有些模型是不需要漂移项吗
是的。是否需要使用漂移项取决于具体的模型和应用场景，对于一些模型，尤其是在数据分布变化较小或忽略概念漂移的情况下，可以不考虑漂移项，这样可以简化模型，并且在某些情况下可以提高模型的训练效率和预测性能。股市预测数学有多难
1、耶鲁大学的Robert J.Shiller教授曾经做过这样的实验：他用excel画出了取了对数之后的美国不到两百年的标准普尔指数（S&P 500）的时间序列图，并且他随机生成了一条带漂移项和波动项的随机游走的样本轨道，这两者居然相差无几！（紫色为随机生成的随机游走样本轨道）2、虽然总体上股票变动的预测趋势和实际相似，但是从图像来看，还是存在较大误差的。
3、在1982年，Engle开创性地提出了自回归条件异方差模型（简称ARCH模型），较好地模拟了股票波动中的丛聚性和时变性。后来国外多次实证应用等都证实ARCH能够提供较理想的数据模拟与预测效果。
4、1986年，伟大的科学家Taylor提出了随机波动模型，简称SV模型。这个模型是一类极具应用前景的金融波动模型。利用基本的SV对新西兰股市记性预测分析，发现该模型有很好的预测能力。G.B.Durham利用SV-mix模型对标准普尔500指数做了预测，认为预测效果很好。
5、ARCH模型和SV模型都是国外学者提出来的，能较好地预测国外的股市变化，但是对我国股市却不太适用。原因在于ARCH模型和SV模型都是基于传统统计学原理的模型，要求数据量大和数据有较好的分布。但由于我国股市从1900年上证交易所成立并开始交易算起，至今仅有18年历史。
6、在这18年中，政策、监管、股改等原因影响我国股市经历几次大起大落，加之上市公司数量有限并不断变化，造成原始数据在分布，样本量，数据完整性方面均不理想，因此基于统计学原理的预测模型ARCH模型和SV模型对我国股票收益率波动情况预测效果都不是那么好。
7、除了样本量的要求大这一缺点之外，ARCH和SV模型都是结构模型相对稳定、简单的，而且都属于单因素模型。但在实际中，预测环境复杂多变，一旦系统变量出现新的关系，该类模型则无法调整和适应。
债券的期限结构的计算方法
看看如下网上摘录就会有所了解：在国债市场上，利率期限结构是一个重要的概念。研究我国国债利率期限结构，对于我国有着重要的理论和现实意义。目前，我国正在进行利率的市场化改革，其中基准利率的确定是关键的一步。随着我国国债市场的发展，合理的国债利率期限结构，能为基准利率的确定提供参考。同时，我国正准备大力发展金融衍生产品，金融衍生产品交易所也即将在上海成立。只有准确估计利率期限结构，为衍生产品提供定价基础，获得合理的衍生品价格，才能促进金融衍生品市场的健康发展。国债市场利率期限结构概述
传统利率期限结构研究有三大理论：预期理论，市场分割理论以及流动性偏好理论。它们的问题是只解释了长短期利率差异的原因，不能准确地说明利率的动态变化。现代的利率期限结构理论把利率的运动假设为随机变动过程，以短期利率或短期利率的波动率为变量建立随机模型来模拟描述现实世界的利率变化。在现代利率期限模型中，通常有两部分所构成：一是所谓的漂移项(draft term)，二是所谓的波动项部分(variance term)。通常在大部分的利率结构模型中，认为利率变动的漂移项部分有所谓的均值回归(mean reversion)现象，即短期利率受长期平均利率的吸引：当短期利率上涨时，会有力量自然使其下降，向长期平均利率靠拢；当短期利率下降时，会有力量使其上升，从而不偏离长期利率水平。而在波动项的设定上.较早的模型通常假定利率的波动性是固定的，但由于与实际不符，便开始有模型将利率的波动性假定为利率水平的函数，也就是所谓的利率水平项效应(level effect)。现代随机利率期限结构模型主要有均衡模型和无套利模型。
由于国内的利率市场尚未放开以及债券市场规模不大，利率期限结构方面的研究相对国外来说相对落后，并且多为实证分析。陈雯、陈浪南(2000)首次利用连续复利的到期收益率对中国债券市场的利率期限结构进行了静态估计，但是他们的检验没有将息票债券的到期收益率和无息票债券的到期收益率区别开来。朱世武，陈建恒(2003)用三次多项式样条函数方法对交易所国债利率期限结构进行了实证研究。郑振龙，林海(2003)分别采用息票剥离法，以及多项式样条函数法静态估计了中国市场利率期限结构。范龙振(2003)采用两因子Vasicek模型估计了上交所债券利率期限结构。周荣喜，邱菀华(2004)，基于多项式样条函数对利率期限结构模型进行了实证比较。谢赤，吴雄伟(2002)基于Vasicek模型和CIR模型实证分析了中国货币市场利率行为。任兆璋.彭化非(2005)用时间序列模型对我国的同业拆借市场进行了利率期限结构的实证分析。王晓芳.刘凤根.韩龙.(2005)以上交所债券价格隐含的利率期限结构数据作为分析对象，利用三次样条函数构造出了中国的利率期限结构曲线，并对其作了相关的评价。从上面可以看出，国内实证研究多以国债市场为对象。研究方法以多项式样条函数法居多，并且样条函数取三次函数，节点的选取多为3个。这是因为多项式样条函数方法要比理论模型像Vasicek模型更有实用价值，估计的结果更好。
实证模型推导和数据说明
(一)基本概念
1.国债品种结构。目前国债按付息方式可以分为：零息国债和附息国债零息国债在存续期内不支付利息，到期一次还本付息。我国在1996年以前发行的国债均属此类。附息国债的利息一般按年支付，到期还本并支付最后一期利息。
2.债券的价格计算。债券的价格可通过如下的公式来计算。
其中Fi表示第i次支付的现金数目(利息或本金)，ti′表示第次付现的时间，m表示付现的次数。P(t,T)表示t时刻到期日为T的债券的贴现价格。Fi,P(T,t),m,T对于每一种债券来说都是已知的确定的，因为我们假设国债是无风险的。只有隐含在债券价格中的贴现函数D(ti)是待估计的。D(ti)=e-r(ti)ti，其中的r(ti)即为以复利形式表示的利率期限结构的表达式。
3.国债各种收益率概念。(1)名义收益率。名义收益率=年利息收入÷债券面值×100%。通过这个公式我们可以知道，只有在债券发行价格和债券面值保持相同时，它的名义收益率才会等于实际收益率。例：某债券面值为100元，年利率为6%，那么债券的名义收益率就是票面利率6%。(2)即期收益率。即期收益率也称现行收益率，它是指投资者当时所获得的收益与投资支出的比率。即：即期收益率=年利息收入÷投资支出×100%。例：某债券面值为100元，票面年利率为6%，发行时以95元出售，那么在购买的那一年投资人即期收益率为100×6%÷95×100%=6.32%。(3)持有期收益率。由于债券可以在发行以后买进，也可以不等到偿还到期就卖出，所以就产生了计算这个债券持有期的收益率问题。持有期收益率=[年利息+(卖出价格-买入价格)÷持有年数]÷买入价格×100%。例：某债券面值为100元，年利率为6%，期限5年，每年付息一次。我以95元买进，我预计2年后会涨到98元，并在那时卖出，要求我的持有期收益率。则我的持有期收益率为[100×6%+(98-95)÷2]÷95×100%=7.89%。(4)到期收益串。到期收益率是指投资者在二级市场上买入已经发行的债券并持有到期满为止的这个期限内的年平均收益率。到期收益率的计算根据当时市场价格、面值、息票利率以及距离到期日时间，也假设所有息票以同样的利率进行再投资。到期收益率是度量不同现金流、不同期限债券的回报串的一个公认指标。
(二)多项式样条法
多项式样条法是由McCulloch[9,10,11)提出的，它的主要思想是将贴现函数用分段的多项式函数来表示。
从上面提到的债券的价格公式，我们知道，要求利率期限结构函数r(ti)，首先要估计出D(ti)。
K阶多项式样条函数法假设贴现函数D(ti)具有如下的形式：
其中节点t1t2……的位置和数目的确定，理论上并没有统一的方法。
然后根据节点处要保证k-1阶连续的原则，找出各参数之间的关系，减少参数的个数。满足如下的方程
根据样本估计出D(ti)中所包含的参数，从而求解出债券中隐含的利率期限结构r(ti)。
本文中，我们选定多项式样条函数的阶数为3。因为如果阶数过小，如当多项式样条函数为二阶时，D(t)的导数D(2)(t)是离散的；而当阶数过高时，验证D(t)的三阶或四阶函数是否连续的难度很大。
三阶多项式样条函数的形式如下：
同时，为了保证分段函数的平滑和连续，贴现函数还需满足以下约束条件：
在函数分界点的选取上，我们参照国内国债期限结构实证检验上的一般做法，选取5年和8年作为函数的分界点。这样，再加上约束条件，我们就能确定最终函数的具体形式。
可以看出，多项式样条函数的方法事先假设了贴现函数的.形式，是一种典型的参数估计的方法。为了估计参数，我们使用线性最小二乘法进行估计。
(三)最小二乘法
最小二乘法是估计随机变量参数最基本的方法，也是在计量经济分析中运用最早最广泛的参数估计方法。
最小二乘法的基本原理是根据随机变量理论值与观测值的偏差平方和最小来估计参数。
设y是K个随机变量X1,,…XK的函数，含有m个a1,…,am参数，即
如果，是参数a1,…,am的估计，那么就是y的估计值。如果有n个y和X1,…,XK的样本（X1i, ,…Xki,ut），i=1,…,n,那么代入上面的估计方程y=f(a1,…,…am;X1,…,…XK)就可以得到n个。n个和y的偏差情况就反映了参数估计量的好坏。如果一组参数使得估计值和观测值的误差平方和最小，那么这样的参数就称为最小二乘估计参数。
实证研究
(一)数据选取
本文采用上海证券交易所交易所2006年4月28日和5月8日的国债收盘数据做为样本。所有44只国债均为固定利率的，其中有5只为半年支付一次利息，一只为每月付息一次，三只贴现债券，其余均为每年付息一次。
选取的是两天的数据，这样就可得到两条利率期限结构曲线。我们就可以分析五一长假前后，国债市场的期限结构是否发生了改变，发生了怎样的改变。
(二)实验结果以及结果分析
用matlab软件编写程序，并将数据输入，运行程序最终的得到的参数估计值如下：
2006年4月28日
d1=0.000626 c1=-0.008315 b1=-0.004094 d2=-0.000024 d3=0.000003，
2006年5月8日
d1=0.000624 c1=-0.008065 b1=-0.005127 d2=-0.000024 d3=0.000003，
得到如下的利率期限结构如图1所示。可以看出，拟合的结果很好，两条曲线很光滑。国债市场的利率期限结构是一条上凸的曲线，长期利率高于短期利率。并且从4月28日和5月8日两条利率期限结构曲线可以看出，短期利率上升，而长期利率变化不大，三月期利率上升了近40个基点。
由理性预期假说可知，从长期来看，短期利率有上升的预期。可以这样来解释，投资者预期我国整体宏观经济会继续保持良好的运行态势，对经济前景充满信心，投资需求进一步上升，从而对于资金的需求会增加，导致长期利率高于短期利率。
另一方面，今年一季度经济增长过快，一季度GDP增速为10.2%，已经超过全年控制在8%的发展预期。央行有可能采取较为紧缩的货币政策来调控经济，这也在一定程度上导致了短期利率的上升。中国人民银行宣布，从4月28日起上调金融机构贷款基准利率，金融机构一年期贷款基准利率上调0.27个百分点，由现行的5.58%提高到5.85%。虽然国债市场和信贷市场属于两个不同的市场，但是通过影响投资者的资金状况，这一货币政策信号很快地传递到了国债市场，导致了短期利率的上调。
整体来讲，国债市场的利率水平低于人民币贷款利率而稍高于存款利率。以一年期利率为例，国债利率介于1.9和2.0之间，而扣除利息税之后的定期存款利率为2.25*0.8=1.8，相应的贷款利率为5.85。
由于国债是以国家的信用作担保的，在我国当前情况下无违约风险，故国债利率可视为无风险利率。而人民币贷款是有一定违约风险的，故其利率有风险补偿因子，贷款利率高于国债利率是应该的。人民币存款利率同样也是无风险的利率，同时考虑到国债市场的流动性要高于定期存款，理论上来讲国债利率应该和存款利率相差不大，甚至略低于存款利率。因此，如果存款利率放开，其利率水平有上升空间。
(三)利率互换仿真定价：
今年年初的利率市场化改革有很多新举措。最耀眼的当属人民币利率互换的推出。今年1月24日，人民银行发布(关于开展人民币利率互换交易试点有关事宜的通知)。2月9日，人民银行正式推出人民币利率互换试点。2月9日，国家开发银行与中国光大银行完成了首笔人民币利率互换交易。名义本金为人民币50亿元，期限10年，光大银行支付固定利率、开发银行支付浮动利率。3月8日，全国银行间同业拆借中心发布公告称，自3月8日起正式对外发布银行间回购定盘利率。从某种意义上可以说，宣告了中国的“LIBOR”的诞生，并为利率相关衍生产品的定价提供了基础。
我们假设有这样一份互换合约。A银行和B银行都有本金为50亿的借款，期限均为一年。A银行的借款为固定利率的，利息为2.25%。B银行的借款为浮动利率的，到期时要支付当天一年期零息票国债的收益率 (即为到期日国债市场一年期利率)。A银行和B银行于2006年5月8日签订互换合约，A银行到期支付浮动利率，B银行到期支付固定利率，则可算出这份互换合约的价值：
2007年5月8日国债市场一年期利率的R07，1，1期望值为
由图1可得，1+R06,1=1.01985，1+R06，2=1.0221，带入可得
1+ER07,1=1.0244
故该互换的价值为
其中L*(ER07,1-0.0225)为B银行期望的现金流，而1+R06,1为贴现因子。故B应该应向A银行支付0.093亿元来购买该互换合约。这是因为该和约对B银行来讲，预期是正的现金流。而A银行则面临负的现金流，故B银行应补贴A银行。
几点结论
本文综述了国内外利率期限结构研究的进展。通过三次样条函数建立模型进行实证分析，我们可以得到如下的结论：
1.三次样条函数可以较好的拟合我国国债市场的利率期限结构
2.当前国债市场的利率期限结构是一条上凸的曲线，形状能够较好的反映了宏观经济对资金的需求情况。
3.我国短期利率有上升的趋势，长期利率表现较为稳定，反映了投资者对经济长期运行态势的信心。
4.与市场化程度很高的国债市场利率相比，存款利率较低。如果放开存款利率，有上升的空间。